时间：2022-09-24 23:02 | 栏目：新闻 | 点击：次
三次函数
最高次数项为3的函数
三次函数(cubic function)指的是最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。
中文名
三次函数
外文名
cubic function
别称
三次回归式抛物线
表达式
y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）
提出者
范盛金
应用学科
数学
适用领域范围
中等代数
图象性质
三次函数性态的五个要点
⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数
⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数
⒊单调性问题
⒋三次函数f（x）图象的切线条数
⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围
三次函数的对称中心
1.三次函数有对称中心的证明
证明：
因为f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0的对称中心是，即
所以f(x)=ax3+bx2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是。
所以设f(x)=a(x+m)3+p(x+m)+n
得f(x)=ax3+3amx2+(3am2+p)x+am3+pm+n
所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;
所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)
所以f(x)=a(x+b/3a)3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a
得证。
2.推广
如果f(x）是一个n次多项式，n>=2（因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心 而在广义上讲是无数个对称中心），其次项系数是，次项系数是，则有
⑴：如果y=f(x）的图像是中心对称图形，其对称中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));
⑵：如果y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是x=-a1/n/a0.
极值计算
三次函数，其导数为。易证当有两个不相等的实数根时，f(x)具有极大值和极小值。而当有两个相等的实数根或没有实数根时，f(x)不具有极值。
若f(x)有极值，设在和处取得，则满足关系式，因此以下用来介绍两种求三次函数极值的方法。
代入原方程法
该方法为高中学生必须掌握的方法，即通过解方程，将所得解x1与x2代入f(x)中得到极值。
解得。
因此极大值：
极小值：
该方法简洁明了，但存在一个问题，即如果解出来的x1与x2十分复杂（如含有根式，或数字较大等），代入f(x)中计算乘方将是一件不容易的事。下一种方法则可以较好地解决上述问题。
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